<HOME> <<VORIGE] [VOLGENDE>>
Wat is de meest magische oplossing per grootte (orde)?
Aan mij is al enkele malen de volgende vraag gesteld: bestaat er één oplossingsmethode die op alle magische vierkanten, dus voor
elke grootte (orde), toepasbaar is? Zie voor het antwoord, paragraaf [1] Oneven, dubbel oneven en veelvoud van vier.
Het is ook belangrijk om te weten, dat niet alle magische vierkanten even magisch zijn. Voor alle groottes (ordes), met uitzondering
van het 3x3 magisch vierkant, zijn magische vierkanten met extra (= met meer dan de minimale) magische eigenschappen mogelijk.
Op deze website vind je voor elke grootte (orde) de meest magische oplossing.
In paragraaf 2. Magische eigenschappen, geef ik een opsomming van de (extra) magische eigenschappen. In paragraaf 3. Meest
magische oplossing per grootte (orde), is per grootte (orde) aangegeven, wat er maximaal aan (extra) magische eigenschappen
mogelijk is.
[1] Oneven, dubbel oneven en veelvoud van vier
Bestaat er één oplossingsmethode die op alle magische vierkanten, dus voor elke grootte (orde), toepasbaar is? Volgens Wikipedia
heb je minimaal drie verschillende oplossingsmethodes nodig om alle magische vierkanten (voor elke grootte [orde]), te kunnen ma-
ken. Je hebt volgens Wikipedia minimaal één oplossingsmethode voor alle oneven magische vierkanten (op pagina ‘magisch 14x14
vierkant’ kun je kiezen uit drie klassieke methodes om een oneven [7x7] magisch vierkant te maken), één oplossingsmethode voor
alle dubbel oneven magische vierkanten (zie op pagina ‘6x6 magisch vierkant’, de Medjig methode) en één methode voor veelvouden
van vier (zie op pagina ‘3x extra magisch 18x18 vierkant’ de klassieke methode, waarmee het 16x16 inlegvierkant is gemaakt) nodig.
Bestaat er één oplossingsmethode die op alle magische vierkanten, dus voor elke grootte (orde), toepasbaar is? Mijn antwoord is,
dat de oplossingsmethode voor het concentrische magische vierkant wel voor elke grootte (orde) toepasbaar is (zie hiervoor pagina
‘inlegvierkanten’). Hierbij wordt opgemerkt, dat in de uitwerking van de methode voor het concentrische magische vierkant nog wel
onderscheid wordt gemaakt tussen even en oneven magische vierkanten.
Wil je echter voor elke grootte (orde) het meest magische vierkant maken, dan heb je hiervoor verschillende oplossingsmethodes
nodig.
[2] Magische eigenschappen
Ik geef hierbij een beschrijving van de magische eigenschappen. Je hebt deze kennis nodig om te begrijpen wat per grootte (orde)
de meest magische oplossing is.
[zuiver] Een magische vierkant is zuiver als hierin alle gehele getalen van 1 tot en met n x n voorkomen. In een zuiver magisch 3x3
vierkant komen de getallen 1 tot en met (3 x 3 =) 9 voor. Op deze website vind je alleen zuivere magische vierkanten met uitzonde-
ring van ‘voor elke magische som kloppend’.
[minimale eigenschappen] Een magisch vierkant moet minimaal bij optelling van de getallen vanuit elke rij, elke kolom en elke (hoofd)
diagonaal de magische som opleveren.
[magische som] Voor elk zuiver magisch vierkant kun je de magische som berekenen. De som is [(1 + n x n) / 2] x n. Bijvoorbeeld de
som voor het 3x3 magisch vierkant is: [(1 + 3 x 3) / 2) x 3 = 15.
[concentrisch] Het oneven concentrisch magische vierkant bestaat uit een kern van één vakje en het even concentrisch magisch vier-
kant bestaat uit een kern van 2x2 vakjes, waar tot in het oneindige randen om heen kunnen worden gelegd. Hierdoor wordt bijvoor-
beeld het concentrische magische 14x14 vierkant een (telkens evenredig) 4x4 in 6x6 in 8x8 in 10x10 in 12x12 in 14x14 vierkant.
[panmagisch] Een magisch vierkant is panmagisch, indien ook optelling van de getallen vanuit elke pandiagonaal de magische som
oplevert. Een pandiagonaal is een gebroken diagonaal, die uit twee delen bestaat. Het eerste deel is een lijn, die begint vanuit de
buitenste rij of kolom (maar niet vanuit een hoekpunt) van het magisch vierkant. Het tweede deel is een lijn of een punt (en dat punt
eindigt dan in één van de hoeken van het magisch vierkant). Zie bijvoorbeeld de pandiagonalen van het panmagisch 4x4 vierkant op
pagina ‘panmagisch 4x4 vierkant, uitleg’.
[symmetrisch] In een symmetrisch vierkant leveren telkens twee getallen, die in een rechte lijn door het middelpunt - en op dezelfde
afstand ten opzichte van het middelpunt - (recht of schuin) tegen over elkaar staan, een zelfde somgetal op. Dit somgetal is 1 + n x n
(b.v. voor het 5x5 magisch vierkant is dit somgetal: 1 + 5 x 5 = 26). Het is ook mogelijk dat de symmetrie zich niet in het magisch
vierkant als geheel, maar dat de symmetrie zich in elk deelvierkant bevindt (zie bijvoorbeeld het verbeterde HSA-vierkant op pagina
‘Basissleutel methode (2)’)
[middelpunt] Het middelpunt van een oneven magisch vierkant is het middelste vakje (n.b.: in het middelpunt van een oneven sym-
metrisch magisch vierkant staat altijd het middelste getal; b.v. in het symmetrische 5x5 magische vierkant staat het getal 13 in het
middelste vakje). Het middelpunt van een even magisch vierkant is het kruispunt van de middelste vier vakjes.
[compact] Indien een magisch vierkant een veelvoud van 2, 3, 5, 7, … is dan wordt met compact bedoeld dat elk binnen het magisch
vierkant willekeurig gekozen 2x2, 3x3, 5x5, 7x7, … subvierkant, dezelfde (evenredige gedeelte van de) magische som oplevert. Een
magisch vierkant kan zelfs dubbel compact zijn. Zo is het ultramagisch 15x15 vierkant op deze website kloppend voor elk 3x3 subvier-
kant en elk 5x5 subvierkant.
[ultramagisch] Voor een oneven grootte (met uitzondering van het 3x3 magische vierkant) is ultramagisch het maximaal mogelijke
resultaat. Een oneven ultramagisch vierkant is altijd panmagisch en symmetrisch en (indien het vierkant deelbaar is door een ander
getal dan één en zichzelf) compact. Indien mogelijk is het ultramagisch vierkant ook kloppend voor een gedeelte van elke rij/kolom/
diagonaal. Zo is het ultramagisch 27x27 vierkant op deze website kloppend voor elke 1/9 rij, elke 1/9 kolom en elke 1/3 diagonaal.
[meest perfect] Voor grootte is veelvoud van vier is meest perfect magisch het maximaal mogelijke resultaat. Willem Barink heeft
ons geleerd dat een fractie van de meest perfecte magische vierkanten een nog strakkere structuur heeft. Zie voor uitgebreide uitleg
(inclusief de overeenkomst en verschillen met het Franklin panmagisch vierkant) pagina ‘Meest perfect magisch vierkant, uitleg’.
[bereik] Met bereik bedoel ik dat je via een oplossingsmethode één of meer oplossingen kunt krijgen. Het mooiste is natuurlijk een
100% bereik, ofwel dat je met een oplossingsmethode alle mogelijke oplossingen kunt krijgen. Je vindt op deze website enkele ma-
len een oplossingsmethode met 100% bereik (zie bijvoorbeeld pagina ‘8x8 meest perfect magisch 8x8, binair’).
[priemgetal] Een priemgetal is een getal, dat alleen deelbaar is door zichzelf en één.
[3] Meest magische oplossing per grootte (orde)
Zie hieronder per grootte (orde) de maximaal mogelijke oplossing.
[3x3] Het 3x3 magisch vierkant is het enige magische vierkant, waarvoor geen extra magische eigenschappen mogelijk zijn. Zie
pagina ‘3x3 magisch vierkant, uitleg’.
[4x4] Het meest magische 4x4 vierkant is het panmagisch 4x4 vierkant. Het panmagische 4x4 vierkant wordt ook wel het kleinste
meest perfect magische vierkant genoemd. Het vierkant is panmagisch en (2x2) compact. Zie hoe je (qua bereik) alle panmagische
4x4 vierkanten kunt maken op pagina ‘Panmagisch 4x4 vierkant’.
[5x5] Het meest magische 5x5 vierkant is het ultramagisch 5x5 vierkant. Het ultramagisch 5x5 vierkant is panmagisch en symme-
trisch. Zie de oplossingssleutel voor het maken van (qua bereik) één ultramagisch 5x5 vierkant, pagina ‘[ultra] panmagisch 5x5 vier-
kant’.
[6x6] Het meest magische 6x6 vierkant is een 6x6 vierkant met een panmagisch 4x4 inlegvierkant. Zie hoe je elk panmagisch 4x4
vierkant kunt uitbreiden tot een 4x4 in 6x6 vierkant op pagina ‘inlegvierkanten’.
[7x7] Het meest magische 7x7 vierkant is het ultramagisch 7x7 vierkant. Het ultramagisch 7x7 vierkant is panmagisch en symmetrisch.
Zie de oplossingssleutel voor het maken van (qua bereik) één ultramagisch 7x7 vierkant, pagina ‘[ultra] panmagisch 5x5 vierkant’.
[8x8] Het meest magische 8x8 vierkant is een meest perfect 8x8 magisch vierkant (met de extra strakke structuur). Zie hoe je (qua
bereik) alle meest perfecte magische 8x8 vierkanten (met de extra strakke structuur) kunt maken op pagina ‘meest perfect magisch
vierkant binair’.
[9x9] Het meest magische 9x9 vierkant is een ultramagisch 9x9 vierkant. Het ultramagisch 9x9 vierkant is panmagisch, symmetrisch,
(3x3) compact en kloppend voor elke 1/3 rij en 1/3 kolom. Zie hoe je (qua bereik) één ultramagisch 9x9 vierkant kunt maken op pa-
gina ‘[ultra] panmagisch 9x9 vierkant (1)’.
[10x10] Het meest magische 10x10 vierkant is een concentrisch magisch 10x10 vierkant. Zie hoe je (qua bereik) één concentrisch
magisch 10x10 vierkant kunt maken op pagina ‘inlegvierkanten’.
[11x11] Het meest magische 11x11 vierkant is het ultramagisch 11x11 vierkant. Het ultramagisch 11x11 vierkant is panmagisch en
symmetrisch. Zie de oplossingssleutel voor het maken van (qua bereik) één ultramagisch 11x11 vierkant, pagina ‘[ultra] panmagisch
5x5 vierkant’.
[12x12] Het meest magische 12x12 vierkant is hetzij een meest perfect magisch 12x12 vierkant (met de extra strakke structuur; zie
pagina ‘Basispatroon methode (2)’), hetzij het ultra panmagische 12x12 vierkant (zie pagina ‘basissleutelmethode (2)’). Het ultra pan-
magische 12x12 vierkant is panmagisch, symmetrisch binnen elk 4x4 deelvierkant, (2x2) compact en kloppend voor elke halve rij,
elke halve kolom en elke 1/3 diagonaal.
[13x13] Het meest magische 13x13 vierkant is het ultramagisch 13x13 vierkant. Het ultramagisch 13x13 vierkant is panmagisch en
symmetrisch. Zie de oplossingssleutel voor het maken van (qua bereik) één ultramagisch 13x13 vierkant, pagina ‘[ultra] panmagisch
5x5 vierkant’.
[14x14] Het meest magische 14x14 vierkant is een meervoudig magisch 14x14 inlegvierkant. Zie hoe je (qua bereik) van elk meest
perfect magisch 8x8 vierkant of elk magisch 4x4 in 6x6 vierkant een meervoudig magisch 14x14 inlegvierkant kunt maken op pagina
‘Inlegvierkant, meervoudig (1)’.
[15x15] Het meest magische 15x15 vierkant is het ultramagisch 15x15 vierkant. Het ultramagisch 15x15 vierkant is panmagisch, sym-
metrisch en dubbel (3x3 en 5x5) compact. Zie hoe je (qua bereik) één ultramagisch 15x15 vierkant kunt maken op pagina ‘[ultra] pan-
magisch 15x15 vierkant’.
[16x16] Het meest magische 16x16 vierkant is een meest perfect 16x16 magisch vierkant (met de extra strakke structuur). Zie hoe je
elk panmagisch 4x4 vierkant kunt gebruiken om een meest perfect magische 16x16 vierkant (met de extra strakke structuur) te maken
op pagina ‘Basispatroonmethode (3c)’.
[17x17] Het meest magische 17x17 vierkant is het ultramagisch 17x17 vierkant. Het ultramagisch 17x17 vierkant is panmagisch en
symmetrisch. Zie de oplossingssleutel voor het maken van (qua bereik) één ultramagisch 17x17 vierkant, pagina ‘[ultra] panmagisch
5x5 vierkant’.
[18x18] Het meest magische 18x18 vierkant is opgebouwd uit 3x3 evenredige 4x4 in 6x6 vierkanten (zie de derde methode op pagina
‘3x extra magisch 18x18 vierkant’. Het magische 18x18 vierkant is kloppend voor elke 1/3 rij/kolom/diagonaal.
[19x19] Het meest magische 19x19 vierkant is het ultramagisch 19x19 vierkant. Het ultramagisch 19x19 vierkant is panmagisch en
symmetrisch. Zie de oplossingssleutel voor het maken van (qua bereik) één ultramagisch 19x19 vierkant, pagina ‘[ultra] panmagisch
5x5 vierkant’.
[20x20] Het meest magische 20x20 vierkant is hetzij een meest perfect magisch 20x20 vierkant (met de extra strakke structuur; zie
pagina ‘basispatroonmethode (4)’), hetzij het ultra panmagische 20x20 vierkant (zie pagina ‘basissleutelmethode (2)’). Het ultra pan-
magische 20x20 vierkant is panmagisch, symmetrisch binnen elk 4x4 deelvierkant, (2x2) compact en kloppend voor elke halve rij,
elke halve kolom en elke 1/5 diagonaal.
[21x21] Het meest magische 21x21 vierkant is het ultramagisch 21x21 vierkant. Het ultramagisch 21x21 vierkant is panmagisch, sym-
metrisch en dubbel (3x3 en 7x7) compact. Zie hoe je van elk symmetrisch magisch 3x7 rechthoek een ultramagisch 21x21 vierkant
kunt maken op pagina ‘[ultra] panmagisch 15x15 vierkant’.
[22x22] Het meest magische 22x22 vierkant is een meervoudig inlegvierkant met vier panmagische 7x7 inlegvierkanten en vijf pan-
magische 4x4 inlegvierkanten. Zie hiervoor pagina ‘Inlegvierkant, meervoudig (2)’.
[23x23] Het meest magische 23x23 vierkant is het ultramagisch 23x23 vierkant. Het ultramagisch 23x23 vierkant is panmagisch en
symmetrisch. Zie de oplossingssleutel voor het maken van (qua bereik) één ultramagisch 23x23 vierkant, pagina ‘[ultra] panmagisch
5x5 vierkant’.
[24x24] Het meest magische 24x24 vierkant is een meest perfect 24x24 magisch vierkant (met de extra strakke structuur). Zie hoe je
elk panmagisch 4x4 vierkant kunt gebruiken om een meest perfect magische 24x24 vierkant (met de extra strakke structuur) te maken
op pagina ‘Basispatroonmethode (5)’.
[25x25] Het meest magische 25x25 vierkant is een ultramagisch 25x25 vierkant. Het ultramagisch 25x25 vierkant is panmagisch, sym-
metrisch, (5x5) compact en kloppend voor elke 1/5 rij/kolom/diagonaal. Zie hoe je elk ultramagisch 5x5 vierkant kunt gebruiken om
een ultramagisch 25x25 vierkant te maken op pagina ‘[ultra] panmagisch 25x25 vierkant’.
[26x26] Het meest magische 26x26 vierkant is een concentrisch magisch 26x26 vierkant. Zie hoe je (qua bereik) één concentrisch
magisch 26x26 vierkant kunt maken op pagina ‘inlegvierkanten’.
[27x27] Het meest magische 27x27 vierkant is een ultramagisch 27x27 vierkant. Het ultramagisch 27x27 vierkant is panmagisch, sym-
metrisch, (3x3) compact en kloppend voor elke 1/9 rij, 1/9 kolom en 1/3 diagonaal. Zie hoe je elk ultramagisch 9x9 vierkant kunt ge-
bruiken om een ultramagisch 27x27 vierkant te maken op pagina ‘[ultra] panmagisch 27x27 vierkant’.
[28x28] Het meest magische 28x28 vierkant is hetzij een meest perfect magisch 28x28 vierkant (met de extra strakke structuur; zie
pagina ‘basispatroonmethode (6)’), hetzij het ultra panmagische 28x28 vierkant (zie pagina ‘basissleutelmethode (2)’). Het ultra pan-
magische 28x28 vierkant is panmagisch, symmetrisch binnen elk 4x4 deelvierkant, (2x2) compact en kloppend voor elke halve rij,
elke halve kolom en elke 1/7 diagonaal.
[29x29] Het meest magische 29x29 vierkant is het ultramagisch 29x29 vierkant. Het ultramagisch 29x29 vierkant is panmagisch en
symmetrisch. Zie de oplossingssleutel voor het maken van (qua bereik) één ultramagisch 29x29 vierkant, pagina ‘[ultra] panmagisch
5x5 vierkant’.
[30x30] Het meest magische 30x30 vierkant is een concentrisch magisch 30x30 vierkant. Zie hoe je (qua bereik) één concentrisch
magisch 30x30 vierkant kunt maken op pagina ‘inlegvierkanten’.
[31x31] Het meest magische 31x31 vierkant is het ultramagisch 31x31 vierkant. Het ultramagisch 31x31 vierkant is panmagisch en
symmetrisch. Zie de oplossingssleutel voor het maken van (qua bereik) één ultramagisch 31x31 vierkant, pagina ‘[ultra] panmagisch
5x5 vierkant’.
[32x32] Het meest magische 32x32 vierkant is een meest perfect 32x32 magisch vierkant (met de extra strakke structuur). Zie hoe je
elk panmagisch 4x4 vierkant kunt gebruiken om een meest perfect magische 32x32 vierkant (met de extra strakke structuur) te maken
op pagina ‘Basispatroonmethode (7b)’
[33x33] Het meest magische 33x33 vierkant is het ultramagisch 33x33 vierkant. Het ultramagisch 33x33 vierkant is panmagisch, sym-
metrisch en dubbel (3x3 en 11x11) compact. Zie hoe je van elk symmetrisch magisch 3x11 rechthoek een ultramagisch 33x33 vierkant
kunt maken op pagina ‘[ultra] panmagisch 15x15 vierkant’.
[34x34] Het meest magische 34x34 vierkant is een concentrisch magisch 34x34 vierkant. Zie hoe je (qua bereik) één concentrisch
magisch 34x34 vierkant kunt maken op pagina ‘inlegvierkanten’.
[35x35] Het meest magische 35x35 vierkant is het ultramagisch 35x35 vierkant. Het ultramagisch 35x35 vierkant is panmagisch, sym-
metrisch en dubbel (5x5 en 7x7) compact. Zie hoe je (qua bereik) één ultramagisch 35x35 vierkant kunt maken op pagina ‘[ultra] pan-
magisch 35x35 vierkant’.
[…] Enzovoorts
LEGENDA:
[ ] Het 3x3 magisch vierkant is het enige magische vierkant, dat je niet extra magisch kunt maken.
[ ] Voor grootte is veelvoud van 4 is het meest perfect magische vierkant (volgens de strakkere structuur van Willem Barink) de
meest magische oplossing. Via de basispatroonmethode laat ik zien dat je 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, ... hetzelfde panmagische 4x4 vierkant
als basis kunt gebruiken om een meest perfect magisch (volgens de strakkere structuur van Willem Barink) 8x8, 12x12, 16x16, 20x20,
... vierkant te maken. N.B.: voor oneven veelvouden van 4 is t.o.v. meest perfect magisch, het ultramagisch (= panmagisch, symme-
trisch, compact en kloppend voor delen van rijen/kolommen/diagonalen) vierkant een (volgens sommigen) even magisch alternatief.
[ ] Voor grootte is priemgetal, is er één oplossingsmethode waarmee je alle (= 100% bereik) panmagische vierkanten kunt ma-
ken. Per grootte is er bovendien één simpele sleutel gegeven, waarmee je (qua bereik) één ultramagisch (= panmagisch en symme-
trisch) vierkant kunt maken.
[ ] Voor grootte is dubbel oneven moet je het extra magische zoeken in enkelvoudige of meervoudige inlegvierkanten (met als
bijzondere vorm concentrische magische vierkanten). N.B.: Uitzondering is grootte is oneven veelvoud van 6. Bijvoorbeeld het 18x18
magische vierkant op deze website bestaat uit 9 evenredige 4x4 in 6x6 vierkanten en is bovendien kloppend voor elke 1/3 rij/kolom/
diagonaal.
[ ] Voor grootte is puur driedelig (bijvoorbeeld: orde 9 = 3x3 of orde 27 = 3x3x3) is ultramagisch (panmagisch, symmetrisch,
3x3 compact) en kloppend voor 3/n rij/kolom en 9/n diagonaal (b.v. het 27x27 vierkant is kloppend voor 1/9 rij/kolom en 1/3 dia-
gonaal) het maximaal mogelijke.
[ ] Voor grootte is een veelvoud van twee verschillende priemgetallen, is ultramagisch (panmagisch, symmetrisch en dubbel
compact) het maximaal mogelijke.
[ ] Voor grootte is priemgetal x priemgetal (uitgezonderd het 9x9 magische vierkant) is ultramagisch (panmagisch, symme-
trisch en compact) en kloppend voor 1/priemgetal rij/kolom/diagonaal (b.v. het 25x25 vierkant is kloppend voor 1/5 rij/kolom/diago-
naal) het maximaal mogelijke.
<HOME> <<VORIGE] [VOLGENDE>>
|
