|
Zie op pagina ‘meest perfect magisch vierkant, uitleg’ welke 8 methoden er zijn om meest perfecte ma-
gische vierkanten te maken. Één van deze 8 methoden is de kwadrant methode, bedacht door Willem
Barink (tevens de bedenker van de medjig methode). De kwadrant methode werkt met name voor meest
perfecte magische 8x8 vierkanten, maar is in aangepaste vorm ook bruikbaar voor meest perfecte magi-
sche 12x12, 16x16, … vierkanten. Zie hiervoor bijvoorbeeld de website wba.novaloka.nl/magic-squares
html. Op deze pagina wordt uitgelegd hoe met behulp van de kwadrant methode meest perfecte (ook
voldoend aan de franklin-) panmagische 8x8 vierkanten kunnen worden gemaakt.
De kwadrant methode houdt in dat je met behulp van 4x4 kwadranten twee bij elkaar passende 8x8
basispatronen vindt, te weten een 8x8 patroon voor de eenheden en een 8x8 patroon voor de acht-
vouden. Op de pagina ‘panmagisch 5x5 vierkant, uitleg’ worden deze basispatronen respectievelijk
rijpatroon en kolompatroon genoemd; met het oog op de uniformiteit van de terminologie in deze
website worden deze termen in het vervolg van dit stuk aangehouden.
Beide 8x8 patronen bestaan uit 8 keer de getallen 0 t/m 7. Wil je een “meest perfect” magisch 8x8 vier-
kant maken, dan moeten de twee 8x8 basispatronen afzonderlijk reeds de magische eigenschappen van
het meest perfecte magische 8x8 vierkant hebben, en moeten derhalve ook de vier 4x4 kwadranten bin-
nen het 8x8 patroon, panmagisch zijn.
Dit stuk behandelt alleen vierkanten met het getal 1 in de linkerbovenhoek.De leidende kwadranten be-
ginnen derhalve met het getal 0 linksboven.Volgens Willem Barink zijn er slechts 30 panmagische 4x4
kwadranten met het getal 0 in de linker bovenhoek (“0-kwadranten”), diagonaal gespiegelde kwadran-
ten niet meegeteld. Uitgaande van deze 0-kwadranten heeft Willem Barink alle combinatiemogelijkhe-
den onderzocht en is uitgekomen op 37 combinatiemogelijkheden.
Op deze webpagina vind je ten eerste de tabel met de 30 0-kwadranten, ten tweede de tabel met de
37 combinatiemogelijkheden en ten slotte een toelichting per groep. In de toelichting per groep is stap
voor stap aangegeven hoe nu precies twee bijelkaar passende 8x8 rij- en kolompatronen, en van daar-
uit het vierkant, tot stand komen. Ook wordt per groep het aantal (verschillende) vierkanten bepaald,
dat door deze combinatiemogelijkheid kan worden gemaakt.
De 30 0- kwadranten
Hier zijn ze, gerangschikt naar structuurkenmerken:
|
0
|
6
|
7
|
1
|
|
|
0
|
1
|
7
|
6
|
|
|
0
|
5
|
7
|
2
|
|
|
0
|
2
|
7
|
5
|
|
|
0
|
4
|
7
|
3
|
|
|
0
|
3
|
7
|
4
|
|
7
|
1
|
0
|
6
|
|
|
7
|
6
|
0
|
1
|
|
|
7
|
2
|
0
|
5
|
|
|
7
|
5
|
0
|
2
|
|
|
7
|
3
|
0
|
4
|
|
|
7
|
4
|
0
|
3
|
|
0
|
6
|
7
|
1
|
|
|
0
|
1
|
7
|
6
|
|
|
0
|
5
|
7
|
2
|
|
|
0
|
2
|
7
|
5
|
|
|
0
|
4
|
7
|
3
|
|
|
0
|
3
|
7
|
4
|
|
7
|
1
|
0
|
6
|
|
|
7
|
6
|
0
|
1
|
|
|
7
|
2
|
0
|
5
|
|
|
7
|
5
|
0
|
2
|
|
|
7
|
3
|
0
|
4
|
|
|
7
|
4
|
0
|
3
|
G1 G2 G3 G4 G5 G6
|
0
|
6
|
1
|
7
|
|
|
0
|
5
|
2
|
7
|
|
|
0
|
3
|
4
|
7
|
|
|
0
|
7
|
6
|
1
|
|
|
0
|
7
|
5
|
2
|
|
|
0
|
7
|
3
|
4
|
|
1
|
7
|
0
|
6
|
|
|
2
|
7
|
0
|
5
|
|
|
4
|
7
|
0
|
3
|
|
|
7
|
0
|
1
|
6
|
|
|
7
|
0
|
2
|
5
|
|
|
7
|
0
|
4
|
3
|
|
6
|
0
|
7
|
1
|
|
|
5
|
0
|
7
|
2
|
|
|
3
|
0
|
7
|
4
|
|
|
1
|
6
|
7
|
0
|
|
|
2
|
5
|
7
|
0
|
|
|
4
|
3
|
7
|
0
|
|
7
|
1
|
6
|
0
|
|
|
7
|
2
|
5
|
0
|
|
|
7
|
4
|
3
|
0
|
|
|
6
|
1
|
0
|
7
|
|
|
5
|
2
|
0
|
7
|
|
|
3
|
4
|
0
|
7
|
B1 B2 B3 A1 A2 A3
|
0
|
6
|
1
|
7
|
|
|
0
|
1
|
6
|
7
|
|
|
0
|
5
|
2
|
7
|
|
|
0
|
2
|
5
|
7
|
|
|
0
|
3
|
4
|
7
|
|
|
0
|
4
|
3
|
7
|
|
7
|
1
|
6
|
0
|
|
|
7
|
6
|
1
|
0
|
|
|
7
|
2
|
5
|
0
|
|
|
7
|
5
|
2
|
0
|
|
|
7
|
4
|
3
|
0
|
|
|
7
|
3
|
4
|
0
|
|
6
|
0
|
7
|
1
|
|
|
1
|
0
|
7
|
6
|
|
|
5
|
0
|
7
|
2
|
|
|
2
|
0
|
7
|
5
|
|
|
3
|
0
|
7
|
4
|
|
|
4
|
0
|
7
|
3
|
|
1
|
7
|
0
|
6
|
|
|
6
|
7
|
0
|
1
|
|
|
2
|
7
|
0
|
5
|
|
|
5
|
7
|
0
|
2
|
|
|
4
|
7
|
0
|
3
|
|
|
3
|
7
|
0
|
4
|
C1 C2 C3 C4 C5 C6
|
0
|
6
|
1
|
7
|
|
|
0
|
6
|
1
|
7
|
|
|
0
|
5
|
2
|
7
|
|
|
0
|
5
|
2
|
7
|
|
|
0
|
3
|
4
|
7
|
|
|
0
|
3
|
4
|
7
|
|
3
|
5
|
2
|
4
|
|
|
5
|
3
|
4
|
2
|
|
|
3
|
6
|
1
|
4
|
|
|
6
|
3
|
4
|
1
|
|
|
6
|
5
|
2
|
1
|
|
|
5
|
6
|
1
|
2
|
|
6
|
0
|
7
|
1
|
|
|
6
|
0
|
7
|
1
|
|
|
5
|
0
|
7
|
2
|
|
|
5
|
0
|
7
|
2
|
|
|
3
|
0
|
7
|
4
|
|
|
3
|
0
|
7
|
4
|
|
5
|
3
|
4
|
2
|
|
|
3
|
5
|
2
|
4
|
|
|
6
|
3
|
4
|
1
|
|
|
3
|
6
|
1
|
4
|
|
|
5
|
6
|
1
|
2
|
|
|
6
|
5
|
2
|
1
|
H1 H2 H3 H4 H5 H6
|
0
|
7
|
1
|
6
|
|
|
0
|
7
|
1
|
6
|
|
|
0
|
7
|
2
|
5
|
|
|
0
|
7
|
2
|
5
|
|
|
0
|
7
|
4
|
3
|
|
|
0
|
7
|
4
|
3
|
|
5
|
2
|
4
|
3
|
|
|
3
|
4
|
2
|
5
|
|
|
3
|
4
|
1
|
6
|
|
|
6
|
1
|
4
|
3
|
|
|
6
|
1
|
2
|
5
|
|
|
5
|
2
|
1
|
6
|
|
6
|
1
|
7
|
0
|
|
|
6
|
1
|
7
|
0
|
|
|
5
|
2
|
7
|
0
|
|
|
5
|
2
|
7
|
0
|
|
|
3
|
4
|
7
|
0
|
|
|
3
|
4
|
7
|
0
|
|
3
|
4
|
2
|
5
|
|
|
5
|
2
|
4
|
3
|
|
|
6
|
1
|
4
|
3
|
|
|
3
|
4
|
1
|
6
|
|
|
5
|
2
|
1
|
6
|
|
|
6
|
1
|
2
|
5
|
K1 K2 K3 K4 K5 K6
De kwadranten zijn in 6 verschillende structuren te verdelen die G, A, B, C, H en K genoemd zijn.
Spelend met deze structuren om een 8x8 basispatroon te maken, zal je merken dat de combinatie-
mogelijkheden om één panmagisch 8x8 basispatroon te maken beperkt is. Hieronder zie je een
schema met de mogelijkheden.
|
G
|
G
|
|
|
A
|
A
|
|
|
B
|
B
|
|
|
C
|
C
|
|
|
C
|
C
|
|
|
H
|
H
|
|
|
K
|
K
|
|
G
|
G
|
|
|
A
|
A
|
|
|
B
|
B
|
|
|
C
|
C
|
|
|
C
|
C
|
|
|
H
|
H
|
|
|
K
|
K
|
|
A
|
A
|
|
|
A
|
C
|
|
|
B
|
B
|
|
|
B
|
C*
|
|
|
C
|
A*
|
|
|
C
|
A
|
|
|
H
|
K
|
|
C*
|
C*
|
|
|
A
|
C
|
|
|
C
|
C
|
|
|
B
|
C*
|
|
|
B
|
C*
|
|
|
B*
|
C*
|
|
|
H
|
K
|
Met de bruine en zwarte C wordt bedoeld dat er binnen de C-groep twee verschillende combinatie-
mogelijkheden zijn, namelijk met C1, C3 en C5, en met C2, C4 en C6.
Met * wordt bedoeld: diagonaal gespiegelde of gereflecteerde (structuur van het) kwadrant.
Ook zal je merken, wanneer je een bijpassend tweede basispatroon zoekt, dat de structuren selectief
op elkaar passen. Een zeer aparte plaats neemt de G-structuur in: behalve dat deze zich alleen met
G-structuren laat combineren tot één 8x8 basispatroon (zie de balk boven), moet het bijpassende
tweede basispatroon noodzakelijkerwijs helemaal uit gespiegelde G-structuren bestaan. Onderstaand
is in het kort aangegeven hoe de structuren per kwadrant op elkaar passen (met * wordt de diagonaal
gespiegelde structuur bedoeld):
G <> G*
A <> B, H
B <> A, K*,
C <> C*, H*
C <> C*, K
H <> H*, K*, C*, A,
K <> K*, H*, C, B*
De 37 combinatiemogelijkheden
Zie hieronder de 37 combinatiemogelijkheden, uitgaande van de 30 0-kwadranten. De getallen betreffen
berekende aantallen uitgaande van vierkanten met het getal 1 linksboven.
|
|
Rij/kolom patroon
|
r x k
|
|
k/r-switch
|
Totaal
|
|
X
|
|
1
|
|
48x48
|
= 2304
|
-
|
= 2304
|
|
36
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
|
12x12
|
= 144
|
+ 144
|
= 288
|
|
|
|
3a
|
|
12x12
|
= 144
|
-
|
= 144
|
C1, C3, C5
|
36
|
|
3b
|
|
12x12
|
= 144
|
-
|
= 144
|
|
|
|
4a
|
|
12x12
|
= 144
|
-
|
= 144
|
|
|
|
4b
|
|
12x12
|
= 144
|
-
|
= 144
|
|
|
|
4c
|
|
12x12
|
= 144
|
+ 144
|
= 288
|
|
|
|
5a
|
|
12x12
|
= 144
|
+ 144
|
= 288
|
|
|
|
5b
|
|
12x12
|
= 144
|
+ 144
|
= 288
|
|
|
|
5c
|
|
12x12
|
= 144
|
+ 144
|
= 288
|
|
|
|
5d
|
|
12x12
|
= 144
|
+ 144
|
= 288
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
|
48x12
|
= 576
|
-
|
= 576
|
|
|
|
7
|
|
48x12
|
= 576
|
-
|
= 576
|
|
144
|
|
8
|
|
48x12
|
= 576
|
+ 576
|
= 1152
|
|
|
|
9a
|
|
48x12
|
= 576
|
+ 576
|
= 1152
|
|
|
|
9b
|
|
48x12
|
= 576
|
+ 576
|
= 1152
|
|
|
|
9c
|
|
48x12
|
= 576
|
+ 576
|
= 1152
|
|
|
|
9d
|
|
48x12
|
= 576
|
+ 576
|
= 1152
|
|
|
|
10a
|
|
48x12
|
= 576
|
-
|
= 576
|
|
|
|
10b
|
|
48x12
|
= 576
|
-
|
= 576
|
|
|
|
10c
|
|
48x12
|
= 576
|
+ 576
|
= 1152
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
48 x 6
|
= 288
|
+ 288
|
= 576
|
|
144
|
|
12
|
|
48 x 6
|
= 288
|
+ 288
|
= 576
|
|
|
|
13a
|
|
48 x 6
|
= 288
|
+ 288
|
= 576
|
|
|
|
13b
|
|
| 
