Magische vierkanten - Inlegvierkant, meervoudig (1)

Inlegvierkant, meervoudig (1)

	Magische vierkanten

Inlegvierkant, meervoudig (1)

Hoe maak ik een meervoudig inlegvierkant?

Op pagina inlegvierkanten laat ik zien hoe je enkelvoudige oneven en even inlegvierkanten kunt maken.
Maar er bestaan ook meervoudige inlegvierkanten; zie bijvoorbeeld op de website van Harvey Heinz:
www.magic-squares.net/magicsquare.htm#Orders 3, 5, 7, 9 Inlaid of het werk van John Hendricks:
www.magic-squares.net/hendricks.htm

Ik kreeg een vraag of ik de oplossingsmethode wist van een van te voren bedacht ingewikkeld meervou-
dig inlegvierkant. Er bestaat helaas geen kant en klare oplossing voor elk willekeurig meervoudig inleg-
vierkant. Het daagde mij echter wel uit tot het maken van onderstaand meervoudig inlegvierkant.

Ik stelde mij de vraag: hoe maak je een 12x12 magisch vierkant dat is opgebouwd uit vier 6x6 magische
vierkanten met in elk 6x6 magisch vierkant een 4x4 (pan)magisch inlegvierkant. Om tot de oplossing te
komen volgde ik de volgende stappen:

[1] De makkelijkste stap is om de vier 4x4 panmagische inlegvierkanten te maken. Neem hiervoor een
willekeurig 8x8 meest perfect (Franklin pan)magisch vierkant (zie uitleg meest perfect magisch vierkant),
tel bij elk getal 40 op en splits het 8x8 vierkant in vier 4x4 (inleg) vierkanten.

Meest magisch 8x8 vierkant + 40 = vier 4x4 inlegvierkanten

1	54	12	63	3	56	10	61	41	94	52	103	43	96	50	101
16	59	5	50	14	57	7	52	56	99	45	90	54	97	47	92
53	2	64	11	55	4	62	9	93	42	104	51	95	44	102	49
60	15	49	6	58	13	51	8	100	55	89	46	98	53	91	48
17	38	28	47	19	40	26	45	57	78	68	87	59	80	66	85
32	43	21	34	30	41	23	36	72	83	61	74	70	81	63	76
37	18	48	27	39	20	46	25	77	58	88	67	79	60	86	65
44	31	33	22	42	29	35	24	84	71	73	62	82	69	75	64

[2] Voor de vier randen zijn (4 x 20 =) 80 getallen nodig. Neem hiervoor de getallen 1 t/m 40 en 105 t/m
144, waarbij de getallen 105 t/m 144 worden vertaald in -/- 1 t/m -/- 40.

[3] Zie methode voor even inlegvierkanten. Elke zijde van een rand bestaat uit 3 positieve en 3 negatieve
getallen, waarbij de som van de 6 getallen precies 0 is. Voor de vier maal vier hoekpunten heb je 16
getallen, ofwel 8 getallen positief/negatief, dubbel nodig. Aangezien een gemiddeld getal (het laagste
getal plus het hoogste getal gedeeld door twee: [1+40]/2 =) 20,5 is, moet de som van de 8 dubbele
getallen (8 x 20,5 = ) 164 zijn. De som van telkens 3 getallen moet (3 x 20,5 =) 61,5, ofwel afwisselend
61 of 62, zijn. Na ‘enig’ puzzelwerk kreeg ik onderstaande tabel:

+	15	20	26	61	16	21	25	62	17	22	23	62	18	19	24	61	164
+	7	28	26	61	5	32	25	62	8	31	23	62	1	36	24	61
-/-	15	9	37	61	16	6	40	62	17	10	35	62	18	4	39	61
-/-	13	14	34	61	3	29	30	62	2	27	33	62	11	12	38	61

[4] Maak vanuit de tabel de randen van de vier 6x6 vierkanten (vul de getallen vanuit de tabel in, vul de
tegenover gelegen getallen in en vertaal de negatieve getallen -/- 1 t/m -/- 40 in 105 t/m 144).

15	20	-13	-14	-34	26	16	21	-3	-29	-30	25	17	22	-2	-27	-33	23	18	19	-11	-12	-38	24
					28						32						31						36
					7						5						8						1
					-37						-40						-35						-39
					-9						-6						-10						-4
					-15						-16						-17						-18


15	20	-13	-14	-34	26	16	21	-3	-29	-30	25	17	22	-2	-27	-33	23	18	19	-11	-12	-38	24
-28					28	-32					32	-31					31	-36					36
-7					7	-5					5	-8					8	-1					1
37					-37	40					-40	35					-35	39					-39
9					-9	6					-6	10					-10	4					-4
-26	-20	13	14	34	-15	-25	-21	3	29	30	-16	-23	-22	2	27	33	-17	-24	-19	11	12	38	-18


15	20	132	131	111	26	16	21	142	116	115	25	17	22	143	118	112	23	18	19	134	133	107	24
117					28	113					32	114					31	109					36
138					7	140					5	137					8	144					1
37					108	40					105	35					110	39					106
9					136	6					139	10					135	4					141
119	125	13	14	34	130	120	124	3	29	30	129	122	123	2	27	33	128	121	126	11	12	38	127

[5] Voeg de randen en de 4x4 inlegvierkanten samen.

12x12 vierkant = vier 6x6 vierkanten met 4x4 inleg

15	20	132	131	111	26	16	21	142	116	115	25
117	41	94	52	103	28	113	43	96	50	101	32
138	56	99	45	90	7	140	54	97	47	92	5
37	93	42	104	51	108	40	95	44	102	49	105
9	100	55	89	46	136	6	98	53	91	48	139
119	125	13	14	34	130	120	124	3	29	30	129
17	22	143	118	112	23	18	19	134	133	107	24
114	57	78	68	87	31	109	59	80	66	85	36
137	72	83	61	74	8	144	70	81	63	76	1
35	77	58	88	67	110	39	79	60	86	65	106
10	84	71	73	62	135	4	82	69	75	64	141
122	123	2	27	33	128	121	126	11	12	38	127

De magische som van de vier 4x4 panmagische inlegvierkanten is telkens 290. De magische som van de
vier 6x6 magische vierkanten is telkens 435. De magische som van het 12x12 magisch vierkant is 870.

N.B.: Omdat het 12x12 magisch vierkant is opgebouwd uit vier evenredige 6x6 magische vierkanten, is
het 12x12 magisch vierkant niet alleen kloppend voor de hele-, maar ook voor de halve rijen/kolommen/
diagonalen.

NU NOG MOOIER

Maar we kunnen het nog mooier maken door het bovenstaande vierkant te vergroten tot een 14x14 magisch
vierkant, en wel als volgt:

[1] We tellen bij elk getal uit het bovenstaande vierkant 26 op;

[2] We maken een rand van 52 getallen (namelijk 1 t/m 26 en 171 t/m 196) om het bovenstaande vierkant.

N.B.: Zie voor de methode om de rand te maken:www.magischvierkant.nl/Inlegvierkanten.html

De som van de getallen 1 t/m 26 is 351. Indien je dit getal verhoogt met 33, dan kom je uit op 384 ofwel
4x96. Voor 33 nemen we de getallen 16 en 17 dubbel. Je krijgt dan bijvoorbeeld de onderstaande tabel:

16	17	1	26	2	25	9	96
16	4	24	5	22	6	19	96
17	3	23	7	21	10	15	96
8	11	12	13	14	18	20	96

Vervolgens maken we de rand met behulp van de tabel (waarbij de 26 hoogste getallen 171 t/m 196 zijn
vertaald in -/- 1 t/m -/- 26):

16	1	26	2	25	9	-8	-11	-12	-13	-14	-18	-20	17
													3
													23
													7
													21
													10
													15
													-4
													-24
													-5
													-22
													-6
													-19
													-16


16	1	26	2	25	9	-8	-11	-12	-13	-14	-18	-20	17
-3													3
-23													23
-7													7
-21													21
-10													10
-15													15
4													-4
24													-24
5													-5
22													-22
6													-6
19													-19
-17	-1	-26	-2	-25	-9	8	11	12	13	14	18	20	-16


16	1	26	2	25	9	189	186	185	184	183	179	177	17
194													3