Magische vierkanten - Dürer & Franklin transformatie

Dürer & Franklin transformatie

	Magische vierkanten

Dürer & Franklin transformatie

Hoe maak ik beroemde magische vierkanten?

Het is mogelijk om via transformatie het beroemde magisch vierkant van Albrecht Dürer respectievelijk
Benjamin Franklin te maken. Met transformatie bedoel ik, dat je in één of meer stappen een vierkant
met opéénvolgende getallen via systematische omwisselingen transformeert tot een kloppend magisch
vierkant.

Dürer transformatie

De meest simpele transformatie bestaat uit slechts één stap. Je wisselt in een 4x4 vierkant met opéénvol-
gende getallen de vier hoekpunten en de vier middelpunten kruiselings om:

		28	32	36	40				34	34	34	34
	34					34		34					34
10		1	2	3	4		34		16	2	3	13
26		5	6	7	8		34		5	11	10	8
42		9	10	11	12		34		9	7	6	12
58		13	14	15	16		34		4	14	15	1

Met slechts één extra stap kun je een 4x4 vierkant met opéénvolgende getallen omwisselen tot het beroemde
vierkant van Albrecht Dürer:

Dürer’s magische vierkant:

		28	32	36	40				28	36	32	40				34	34	34	34
	34					34		34					34		34					34
10		1	2	3	4		10		1	3	2	4		34		16	3	2	13
26		5	6	7	8		26		5	7	6	8		34		5	10	11	8
42		9	10	11	12		42		9	11	10	12		34		9	6	7	12
58		13	14	15	16		58		13	15	14	16		34		4	15	14	1

N.B.: Als je de 4 en de 1 vervangt door het 4^e respectievelijk 1^e letter van het alfabet, dan krijg je op de laatste
regel D1514A, te weten de initialen van de Duitse renaissancekunstenaar/wiskundige Albrecht Dürer (1471-1528)
plus het jaartal, waarin hij het magisch vierkant via de gravure Melancholia heeft ‘gepubliceerd’. Als je de letters
van ALBRECHT DURER vervangt door hun rangnummers in het alfabet en deze getallen optelt, dan is de uitkomst
135. Tel hierbij 1 (het symbool van God; de 1 is ook groter dan de andere getallen in de gravure weergegeven)
op en je krijgt 136 en dat is precies de som van alle getallen 1 t./m 16 in het magische vierkant!!!

Je kunt via twee extra stappen het magische vierkant van Albrecht Dürer transformeren in een panmagisch 4x4
vierkant (= kleinste meest perfect magisch vierkant):

Panmagisch 4x4 vierkant:

		34	34	34	34				34	34	34	34				34	34	34	34
	34					34		52					20		34					34
34		16	3	2	13		34		16	3	13	2		34		16	3	13	2
34		5	10	11	8		34		5	10	8	11		34		5	10	8	11		34	34
34		9	6	7	12		34		9	6	12	7		34		4	15	1	14		34	34
34		4	15	14	1		34		4	15	1	14		34		9	6	12	7		34	34

Franklin transformatie

Het is ook mogelijk om een 8x8 vierkant met opéénvolgende getallen in vier stappen om te wisselen tot (een versie
van) het beroemde Franklin magische 8x8 vierkant:

Verwissel kolom 3&4 met 7&8 Paar de rijen (1-8, 2-7, 3-6, 4-5) Wissel kleuren en vet met niet-vet om

1	16	17	32	33	48	49	64	1	16	49	64	33	48	17	32	1	16	49	64	33	48	17	32
2	15	18	31	34	47	50	63	2	15	50	63	34	47	18	31	8	9	56	57	40	41	24	25
3	14	19	30	35	46	51	62	3	14	51	62	35	46	19	30	2	15	50	63	34	47	18	31
4	13	20	29	36	45	52	61	4	13	52	61	36	45	20	29	7	10	55	58	39	42	23	26
5	12	21	28	37	44	53	60	5	12	53	60	37	44	21	28	3	14	51	62	35	46	19	30
6	11	22	27	38	43	54	59	6	11	54	59	38	43	22	27	6	11	54	59	38	43	22	27
7	10	23	26	39	42	55	58	7	10	55	58	39	42	23	26	4	13	52	61	36	45	20	29
8	9	24	25	40	41	56	57	8	9	56	57	40	41	24	25	5	12	53	60	37	44	21	28

Verwissel rij 2 met 3 en 6 met 7 Franklin magisch 8x8 vierkant:

16	1	64	49	48	33	32	17	16	1	64	49	48	33	32	17
9	8	57	56	41	40	25	24	50	63	2	15	18	31	34	47
50	63	2	15	18	31	34	47	9	8	57	56	41	40	25	24
55	58	7	10	23	26	39	42	55	58	7	10	23	26	39	42
14	3	62	51	46	35	30	19	14	3	62	51	46	35	30	19
11	6	59	54	43	38	27	22	52	61	4	13	20	29	36	45
52	61	4	13	20	29	36	45	11	6	59	54	43	38	27	22
53	60	5	12	21	28	37	44	53	60	5	12	21	28	37	44

Met twee extra stappen kun je het Franklin magisch 8x8 vierkant transformeren in een Franklin panmagisch 8x8 vierkant
(= tevens meest perfect magisch 8x8 vierkant):

Verwissel kolom 1 met 2 en kolom 5 met 6

			130	130	130	130	130	130	130	130
			130	130	130	130	130	130	130	130
		146									114
130	130		16	1	64	49	48	33	32	17
130	130		50	63	2	15	18	31	34	47
130	130		9	8	57	56	41	40	25	24
130	130		55	58	7	10	23	26	39	42
130	130		14	3	62	51	46	35	30	19
130	130		52	61	4	13	20	29	36	45
130	130		11	6	59	54	43	38	27	22
130	130		53	60	5	12	21	28	37	44
		114									146
			130	130	130	130	130	130	130
			130	130	130	130	130	130	130
			130	130	130	130	130	130	130
			130	130	130	130	130	130	130
			130	130	130	130	130	130	130
			130	130	130	130	130	130	130
			130	130	130	130	130	130	130

Verwissel in elk 4x4 subvierkant geel met rood

1	16	64	49	33	48	32	17
63	50	2	15	31	18	34	47
8	9	57	56	40	41	25	24
58	55	7	10	26	23	39	42
3	14	62	51	35	46	30	19
61	52	4	13	29	20	36	45
6	11	59	54	38	43	27	22
60	53	5	12	28	21	37	44

Franklin panmagisch (tevens meest perfect magisch) 8x8 vierkant:

			130	130	130	130	130	130	130	130
			130	130	130	130	130	130	130	130
		130									130
130	130		8	9	64	49	40	41	32	17
130	130		58	55	2	15	26	23	34	47		260	260
130	130		1	16	57	56	33	48	25	24		260	260
130	130		63	50	7	10	31	18	39	42		260	260
130	130		6	11	62	51	38	43	30	19		260	260
130	130		60	53	4	13	28	21	36	45		260	260
130	130		3	14	59	54	35	46	27	22		260	260
130	130		61	52	5