Magische vierkanten - Inlegvierkanten

Inlegvierkanten

	Magische vierkanten

Inlegvierkanten

<HOME> <<VORIGE] [VOLGENDE>>

Hoe maak je inlegvierkanten?

Een inlegvierkant is een (onzuiver) magisch vierkant binnen een groter (zuiver) magisch vierkant. Bij een
eenvoudig inlegvierkant haal je de buitenrand van het grotere vierkant af, waarna je het inlegvierkant over-
houdt. Hieronder zie je een oplossingsmethode voor eenvoudige even (inleg)vierkanten, een voorbeeld van
een eenvoudig oneven inlegvierkant, een oplossingsmethode voor grotere eenvoudige oneven (inleg)vier-
kanten, verwijzingen naar een websites met ingewikkelder inlegvierkanten (ofwel met meerdere inlegvier-
kanten binnen een groter vierkant), een verwijzing naar een webpagina met een methode om meervoudige
inlegvierkanten te maken en de presentatie van het al-Antaakii concentrisch 15x15 magisch vierkant met een
extra magische eigenschap.

Even (inleg)vierkanten

Het kleinste even inlegvierkant is een (onzuiver) 4x4 vierkant binnen het (zuivere) 6x6 vierkant. In een zuiver
6x6 vierkant staan de getallen 1 t/m 36.

27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1

Gebruik voor het 4x4 inlegvierkant de middelste 16 getallen (= geel gearceerd). Neem bijvoorbeeld het eerste
basis panmagisch 4x4 vierkant (zie pagina panmagisch 4x4) en tel bij elk getal 10 op.

Zuiver 4x4 +10 = (onzuiver) inleg 4x4

1	8	13	12	11	18	23	22
15	10	3	6	25	20	13	16
4	5	16	9	14	15	26	19
14	11	2	7	24	21	12	17

De buitenrand moet aan de drie volgende randvoorwaarden voldoen om een kloppend (zuiver) magisch 6x6
vierkant te krijgen:

● Een positief getal moet in de rij, kolom of diagonaal tegenover hetzelfde negatieve getal (= vertaling van
de getallen 27 t/m 36) komen te staan;

● In de bovenste rij, de onderste rij, de linker kolom en de rechter kolom moeten telkens 6 verschillende
getallen - waarvan 3 positief en 3 negatief - worden ingevuld;

● De som van de bovenste rij, de onderste rij, de linker kolom en de rechter kolom moet telkens op 0 uit-
komen.

Maak de bovenste rij en de rechter kolom en begin linksboven (bijvoorbeeld) met het getal 1. Omdat het getal
linksboven 1 is moet in de diagonaal rechtsonder het getal -1 worden ingevuld. Het rechtsboven in te vullen getal
(?) komt zowel in de bovenste rij als in de rechter kolom voor.

1					?




					-1

De som van 1 t/m 10 is 55. Je hebt de getallen 1 t/m 10 plus twee getallen hieruit dubbel nodig. Neem je de
getallen 1 en 8 dubbel, dan moet de som van telkens 3 getallen zijn: [55 + 1 + 8] / 4 = 16.

1+5+10

1+6+ 9

1+7+ 8

2+4+10

2+5+ 9

2+6+ 8

3+4+ 9

3+5+ 8

3+6+ 7

4+5+ 7

Hierboven heb ik 4x 3 mogelijkheden uitgepuzzeld. De getallen kunnen als volgt worden ingevuld.

Invulling 4 mogelijkheden Invulling tegenover gelegen getallen

1	6	9	-3	-5	-8	1	6	9	-3	-5	-8
					2	-2					2
					4	-4					4
					10	-10					10
					-7	7					-7
					-1	8	-6	-9	3	5	-1

Het eindresultaat is:

1	6	9	34	32	29
35	11	18	23	22	2
33	25	20	13	16	4
27	14	15	26	19	10
7	24	21	12	17	30
8	31	28	3	5	36

N.B.: Deze methode werkt ook voor grotere (enkelvoudige) even inlegvierkanten (b.v. een 6x6
inlegvierkant binnen het grotere 8x8 vierkant, 8x8 binnen 10x10, 10x10 binnen 12x12, …).

Oneven (inleg)vierkanten

Een 3x3 inleg in een 5x5 vierkant:
Het kleinste oneven inlegvierkant is een (onzuiver) 3x3 vierkant binnen het (zuivere) 5x5 vierkant.
Het is mogelijk om voor het 3x3 inlegvierkant de 9 (opeenvolgende) middelste getallen vanuit 1
t/m 25 te gebruiken. Je krijgt dan (bijvoorbeeld) het volgende vierkant:

3x3 inleg in 5x5 vierkant

1	22	20	19	3
2	10	17	12	24
18	15	13	11	8
21	14	9	16	5
23	4	6	7	25

Een 5x5 inleg in een 7x7 vierkant, maak je als volgt:

Maak eerst het kolom- en rijpatroon van het binnenste 5x5 vierkant met behulp van de methode op
pagina Panmagisch 5x5 vierkant. Gebruik vanuit de getallen 0 t/m 6 de middelste vijf getallen 1 t/m 5.

Kolompatroon 5x5 inleg vierkant Rijpatroon 5x5 inleg vierkant


1	2	3	4	5	1	2	3	4	5
4	5	1	2	3	3	4	5	1	2
2	3	4	5	1	5	1	2	3	4
5	1	2	3	4	2	3	4	5	1
3	4	5	1	2	4	5	1	2	3

Alle combinaties met de getallen 1 t/m 5 zijn nu gemaakt. In de buitenrand moeten alle combinaties
met de getallen 0 en/of 6 worden gemaakt. Bovendien moet de som van twee tegenover elkaar lig-
gende getallen altijd 6 zijn en moet de som van een rij of een kolom altijd 21 zijn. Plaats de getallen
als volgt (n.b.: plaats daarbij 2x het middelste getal uit 0 t/m 6 schuin tegenover elkaar in de hoeken
en plaats de hoogste en laagste getallen in dezelfde rij/kolom):

Kolompatroon 7x7 rand (om 5x5)

3	0	3	1	2	4	5	6	0
0	6	0						6
6	0	6						0
0	6	0						6
6	0	6						0
0	6	0						6
6	3	6	5	4	2	1	0	3

Plaats nu de getallen van het rijpatroon dusdanig, dat alle combinaties met de getallen 0 en/of 6 wor-
den gevormd (omdat we natuurlijk wel alle getallen van 1 t/m 49 in het vierkant willen hebben):

Rijpatroon 7x7 rand (om 5x5)

0	6	0	0	6	6	3
1						5
2						4
5						1
4						2
6						0
3	0	6	6	0	0	6

Neem 7x een getal uit het kolompatroon, tel daarbij het getal uit hetzelfde vakje van het rijpatroon bij op
en tel hierbij nog eens 1 op

7x getal uit kolompatroon + 1x getal uit rijpatroon

3	1	2	4	5	6	0	0	6	0	0	6	6	3
0	1	2	3	4	5	6	1	1	2	3	4	5	5
6	4	5	1	2	3	0	2	3	4	5	1	2	4
0	2	3	4	5	1	6	5	5	1	2	3	4	1
6	5	1	2	3	4	0	4	2	3	4	5	1	2
0	3	4	5	1	2	6	6	4	5	1	2	3	0
6	5	4	2	1	0	3	3	0	6	6	0	0	6

+1 = 5x5 inleg in 7x7 vierkant

21	13	14	28	41	48	3	22	14	15	29	42	49	4
1	8	16	24	32	40	47	2	9	17	25	33	41	48
44	31	39	12	15	23	4	45	32	40	13	16	24	5
5	19	22	30	38	11	43	6	20	23	31	39	12	44
46	37	10	18	26	29	2	47	38	11	19	27	30	3
6	25	33	36	9	17	42	7	26	34	37	10	18	43
45	35	34	20	7	0	27	46	36	35	21	8	1	28

N.B.: Deze methode werkt ook voor grotere oneven (enkelvoudige) inleg vierkanten.

Oplossingsmethode voor concentrische (inleg) vierkanten

Een oplossingsmethode voor concentrische (inleg) inlegvierkanten vind je op website:

http://users.eastlink.ca/~sharrywhite/BorderedMagicSquares.html

Meervoudig inlegvierkant

Ga ook naar de webpagina voor het maken van een meervoudig inlegvierkant.

Al-Antaakii concentrisch 15x15 magisch vierkant met extra eigenschap

Paul Michelet maakte me attent op het al-Antaakii concentrisch 15x15 magisch vierkant met een extra
magische eigenschap uit het jaar 987 (!!!); zie youtube filmpje van het Gresham College:

http://www.youtube.com/watch?v=YUsSaGnbcCw

62	2	222	220	8	10	214	213	212	16	18	206	204	24	64
126	78	26	198	196	32	11	189	207	34	190	188	40	80	100
128	122	94	42	182	7	35	173	183	203	180	48	96	104	98
50	124	118	110	3	31	51	165	167	179	199	112	108	102	176
52	70	120	201	75	159	155	153	83	87	79	25	106	156	174
54	72	205	181	141	95	135	133	103	99	85	45	21	154	172
170	209	185	169	145	125	111	121	107	101	81	57	41	17	56
211	187	171	163	149	129	109	113	117	97	77	63	55	39	15
168	9	33	49	69	89	119	105	115	137	157	177	193	217	58
60	82	5	29	65	127	91	93	123	131	161	197	221	144	166
66	142	90	1	147	67	71	73	143	139	151	225	136	84	160
158	140	92	114	223	195	175	61	59	47	27	116	134	86	68
152	88	130	184	44	219	191	53	43	23	46	178	132	138	74
76	146	200	28	30	194	215	37	19	192	36	38	186	148	150
162	224	4	6	218	216	12	13	14	210	208	20	22	202	164