[VOLGENDE>>
[English language version of this website about the construction of most perfect
(Franklin pan) magic squares, see: www.perfectmagicsquares.com]
● Wil je alleen iets weten van 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, ... vierkant: Op deze website vind je voor elke
grootte (orde) een eenvoudige oplossingsmethode die tot de meest magische oplossing leidt
● Ben je bolleboos en wil je zelf met magische vierkanten aan de slag: Op deze website vind je als
input allerlei patronen die tot de meest magische (inleg) vierkanten of magische kubussen leiden.
*** Heel Speciale Attractie ***
Op pagina Sudoku methode (3) demonstreer ik hoe je (in 9 stappen) van slechts één 4x4 Sudoku
(met 4x4 dezelfde getallen) een meest perfect magisch 1024x1024 vierkant (met meer dan een
miljoen verschillende getallen) kunt maken!!!
N.B.: Kijk ook eens op pagina Het volmaakte magische vierkant
Doel van de website
Toelichting plus verwijzing naar de webpagina's
Voor kids (maar ook voor volwassenen die geen of weinig kennis over magische vierkanten hebben)
vertelt schildpad Lowi zijn verhaal en geeft tips voor het oplossen van het 3x3 magisch vierkant.
3x3 magisch vierkant uitleg
Hier vind je gedetailleerde en eenvoudige uitleg over het magische 3x3 vierkant.
Het is mogelijk om van een (4x4) Sudoku een 4x4 (pan)magisch vierkant te maken met behulp van
de Sudokumethode (ook wel bekend als Euler’s latijnse vierkanten). Het is echter ook mogelijk om
de Sudoku patronen van een 4x4 panmagisch vierkant te gebruiken om een 8x8 meest perfect
(Franklin pan)magisch vierkant of een 16x16 meest perfect (Franklin pan)magisch vierkant of een
32x32 meest perfect (Franklin pan)magisch vierkant te maken (Deze methode is een alternatieve
presentatie van de basispatroonmethode).
Sudoku methode (2)
Het is ook mogelijk om de Sudoku patronen van een 4x4 panmagisch vierkant te gebruiken om een
meest perfect magisch 12x12 vierkant te maken, kloppend voor 1/3 van de rijen, 1/3 van de kolom-
men en 1/3 van de diagonalen. Met deze methode kan voor elke veelvoud van 4 (= 8x8, 12x12,
16x16, 20x20, ...) een meest perfect (en voor elk veelvoud van 8 tevens Franklin pan)magisch vier-
kant worden gemaakt.
Sudoku methode (3)
Op deze pagina demonstreer ik dat het mogelijk is om (in 9 stappen) van slechts één 4x4
Sudoku (met 4x4 dezelfde getallen) een meest perfect 1024x1024 magisch vierkant (met
meer dan een miljoen verschillende getallen) te maken.
Op deze pagina leg ik uit hoe panmagische 4x4 vierkanten kunnen worden gemaakt. Het is
gebruikelijk om de 48 mogelijke panmagische 4x4 vierkanten (exclusief draaiingen en/of spie-
gelingen) te presenteren. Ik laat zien dat je eigenlijk maar 3 vierkanten hoeft te kennen. Via
‘verschuiving over het tapijt’ zijn er telkens 16 mogelijkheden (3x16=48). Als je elk gevonden
vierkant laat draaien en/of spiegelen (laat ik op de webpagina zien) dan kom je op het totaal
van (48x8=) 384 mogelijke panmagische 4x4 vierkanten (inclusief draaiingen en/of spiege-
lingen).
Panmagisch 4x4 vierkant, uitleg
Hier vind je gedetailleerde en eenvoudige uitleg over de bijzondere magische eigenschappen
(en de structuur) van het panmagische 4x4 vierkant (= het kleinste meest perfecte magische
vierkant).
Panmagisch 4x4 vierkant, binair
Het is ook mogelijk om alle 384 panmagische 4x4 vierkanten (= inclusief draaiingen en/of spie-
gelingen) te maken vanuit binaire 4x4 patronen.
Transformatie methode
Op deze pagina laat ik zien dat het mogelijk is om in 5 stappen een (4x4, 8x8, 12x12 of 16x16)
vierkant met opeenvolgende getallen te transformeren in een meest perfect magisch vierkant
(deze methode werkt voor elke veelvoud van 4).
Dürer en Franklin transformatie
Leer op deze pagina om via transformatie het beroemde vierkant van Albrecht Dürer of het
beroemde vierkant van Benjamin Franklin te maken.
Transformatie methode, analyse
De transformatie methode kan ook achterwaarts worden uitgevoerd. Zo kun je van elk meest
perfect magisch vierkant het startpunt bepalen. Ook het startpunt heeft (net als het meest
perfecte magische vierkant zelf) extra magische eigenschappen/randvoorwaarden. Lukt het jou
om via een startpunt een kloppend meest perfect magisch (8x8) vierkant te maken?
[ultra] panmagisch 5x5 vierkant
Op deze pagina leg ik uit hoe 5x5 panmagische vierkanten kunnen worden gemaakt. Vervolgens
geef ik een link naar de website met de 'moeder methode' hiervan. De methode werkt ook voor
grotere oneven vierkanten, die geen veelvoud van 3 zijn (dus 5x5, 7x7, 11x11, 13x13, 17x17, ...)
en hiermee kunnen alle mogelijke panmagische (5x5, enz..) vierkanten worden gemaakt. Sepa-
raat laat ik de sleutel zien om ultra panmagische 5x5, 7x7, 11x11, ... vierkanten te maken.
Panmagisch 5x5 vierkant, uitleg
Hier vind je gedetailleerde en eenvoudige uitleg over de extra magische eigenschappen (en de
structuur van) het panmagische 5x5 vierkant.
6x6 magisch vierkant
Er bestaan geen panmagische (of extra magische) 6x6 vierkanten. Ik presenteer hier ten eerste
de medjig methode van Willem Barink (bron: Wikipedia, Nederlandstalig). Ten tweede vind je hier
de methode van Strachey. Ten derde laat ik je nog een envoudige truc zien om een magisch 6x6
vierkant te maken.
Ultra (pan)magisch 8x8 vierkant
Voor het 8x8 vierkant heeft het Franklin panmagische (= meest perfect magische) 8x8 vierkant
de meeste magische eigenschappen (zie volgende webpagina). Voor oneven vierkanten is ultra
(pan)magisch het hoogst haalbaar. Er bestaan echter ook ultrapanmagische (even, bijvoorbeeld)
8x8 vierkanten. Ik leg uit hoe je een ultra panmagisch 8x8 vierkant kunt maken.
Meest perfect magisch vierkant, uitleg
Hier vind je gedetailleerde en eenvoudige uitleg over de extra eigenschappen (en de structuur van)
meest perfecte magische vierkanten. N.B.: Lees ook de uitleg over de (door Willem Barink ontdekte)
extra eigenschap X.
8x8 meest perfect magisch, binair
Het is mogelijk om vanuit binaire patronen alle mogelijke meest perfecte (Franklin pan)magische 8x8
vierkanten te maken.
Khajuraho methode
Het is mogelijk om een 4x4 panmagisch vierkant, bijvoorbeeld het beroemde Khajuraho vierkant, uit
te breiden tot een 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, ... panmagisch vierkant. Indien getallen worden omge-
wisseld, dan kan van het 8x8 panmagisch vierkant zelfs een 8x8 meest perfect (Franklin pan)magisch
vierkant worden gemaakt. Deze methode is de onderliggende methode van de basispatroonmethode.
Hier laat ik zien hoe je van (de gesplitste patronen van) elk panmagisch 4x4 vierkant een meest perfect
(Franklin pan)magisch 8x8 vierkant kunt maken. Ook laat ik (voor bollebozen) zien dat het zelfs mogelijk
is om een meest perfect (Franklin pan)magisch 16x16 of meest perfect (Franklin pan)magisch 32x32
vierkant te maken. Deze methode heb ikzelf ontwikkeld en noem ik de basispatroonmethode. Ik heb
deze methode nog niet ergens anders kunnen terugvinden.
Basispatroon methode (1b)
Maak met 4x hetzelfde panmagische 4x4 vierkant (plus 2 vaste patronen) een meest perfect (Franklin
pan)magisch 8x8 vierkant, dat ook nog de (door Willem Barink ontdekte) extra eigenschap X heeft.
Basispatroon methode (2)
Het is ook mogelijk om van 9x hetzelfde panmagisch 4x4 vierkant (plus 2 vaste patronen) een
meest perfect magisch 12x12 vierkant te maken, dat ook nog de (door Willem Barink ontdekte)
extra eigenschap X heeft.
Basispatroon methode (3a)
Het is zelfs mogelijk is om met twee 4x4 tapijten van (het patroon van) elk panmagisch 4x4 vier-
kant, een meest perfect (Franklin pan)magisch 16x16 vierkant te maken.
Basispatroon methode (3b)
In plaats van twee 4x4 tapijten volgens methode 3a, kun je ook één tapijt met 4x4 hetzelfde pan-
magische vierkant plus twee vaste patronen (waarbij het tweede vaste patroon een reflectie is van
het eerste vaste patroon) gebruiken om een meest perfect (Franklin pan)magisch 16x16 vierkant te
maken.
Basispatroon methode (3c)
Maak met 16x hetzelfde panmagische 4x4 vierkant (plus 2 vaste patronen) een meest perfect
(Franklin pan)magisch 16x16 vierkant, dat ook nog de (door Willem Barink ontdekte) extra eigen-
schap X heeft.
Basispatroon methode (4)
Maak met 25x hetzelfde panmagisch 4x4 vierkant (plus 2 vaste patronen) een meest perfect magisch
20x20 vierkant, dat ook nog de (door Willem Barink ontdekte) extra eigenschap X heeft.
Basispatroon methode (5)
Maak met 36x hetzelfde panmagisch 4x4 vierkant (plus 2 vaste patronen) een meest perfect (Franklin
pan)magisch 24x24 vierkant, dat ook nog de (door Willem Barink ontdekte) extra eigenschap X heeft.
Basispatroon methode (6)
Maak met 49x hetzelfde panmagisch 4x4 vierkant (plus 2 vaste patronen) een meest perfect magisch
28x28 vierkant, dat ook nog de (door Willem Barink ontdekte) extra eigenschap X heeft.
Basispatroon methode (7a)
Gebruik een tapijt van 8x8 hetzelfde panmagische 4x4 vierkant en twee vaste patronen (waarbij het
tweede vaste patroon een reflectie is van het eerste vaste patroon) om een meest perfect (Franklin
pan)magisch 32x32 vierkant te maken.
Basispatroon methode (7b)
Maak met 64x hetzelfde panmagische 4x4 vierkant (plus 2 vaste patronen) een meest perfect (Franklin
pan)magisch 32x32 vierkant, dat ook nog de (door Willem Barink ontdekte) extra eigenschap X heeft.
Analyse Franklin panmagisch 8x8 vierkant (1)
Dit is mijn eerste analyse van het meest perfecte (Franklin pan)magische 8x8 vierkant, waarbij ik het
meest perfecte magische 8x8 vierkant terug herleid naar het panmagische 4x4 vierkant als basispa-
troon.
Analyse Franklin panmagisch 8x8 vierkant (2)
Bij deze analyse kom ik tot een complete rubricering in 6 groepen (waarvan 3 reeds door mij ontdekte
methoden en 3 nieuwe groepen) van de 368.640 meest perfecte (Franklin pan)magische 8x8 vierkan-
ten.
Hier laat ik een methode zien, waarmee je meest perfecte (Franklin pan)magische vierkanten kunt
maken voor grootte (orde) is veelvoud van 8. Ik heb de door mijzelf ontwikkelde methode de basis-
sleutel methode genoemd. Met deze methode ben ik op hetzelfde spoor als Donald Morris en de stu-
denten van het HSA vierkant terecht ge- komen. Ik heb de methode iets verbeterd via de zogenaam-
de orthogonaal (dat wil zeggen dat je als 2e vierkant het 1e vierkant een kwartslag gedraaid kunt ne-
men; op de volgende webpagina leg ik uit aan welke simpele randvoorwaarde hiervoor moet worden
voldaan).
Op deze pagina komt de basissleutel methode terug, maar dan voor vierkanten met grootte is oneven
veelvoud van 4 (dus 12x12, 20x20, 28x28, …). Het 12x12 magische vierkant volgens optie a heeft de-
zelfde magische eigenschappen als het HSA vierkant (dus ook dezelfde eigenschappen als van het
paar jaar eerder gemaakte 12x12 magisch vierkant van Donald Morris). Ook laat ik zien hoe je een
ultra panmagisch vierkant kunt maken, die klopt voor elke halve rij, elke halve kolom, elke een derde
diagonaal, elke pandiagonaal en elk 2x2 deelvierkant en het vierkant heeft bovendien een strakke ultra-
magische structuur.
Kwadrant metode (Willem Barink)
Zie hier een gedetailleerde uitleg over Willem Barinks kwadrant methode, uitgewerkt voor het meest
perfecte magische 8x8 vierkant. Met de kwadrantmethode kun je alle mogelijke 368.640 meest per-
fecte (Franklin pan)magische 8x8 vierkanten maken.
[Ultra] panmagisch 9x9 vierkant (1)
Voor het panmagische 9x9 vierkant bestaat een methode die vergelijkbaar is met de methode voor
het panmagisch 5x5 vierkant. Deze methode kan gebruikt worden voor vierkanten met de grootte
van een oneven kwadraat (25x25, 49x49, 81x81, 121x121, ...).
N.B.: In aangepaste vorm is het zelfs mogelijk om een ultra panmagisch 9x9 vierkant te maken, die
naast z'n strakke structuur ook nog kloppend is voor elke 1/3 rij en 1/3 kolom.
Panmagisch 9x9 vierkant (2)
Omdat er met de methode voor het panmagisch 9x9 vierkant (1), maar weinig oplossingsmogelijk-
heden zijn, volgt nu een verfijndere methode (met 4 i.p.v. 2 onderliggende patronen) met meer
combinatiemogelijkheden.
Panmagisch 9x9 vierkant (3)
Ontdek de miljoenen mogelijkheden om panmagische 9x9 vierkanten te maken.
3x Extra magisch 9x9 vierkant
Ik presenteer op deze pagina 3 methodes die tot niet-panmagische, maar wel tot extra magische
oplossingen voor het 9x9 magisch vierkant leiden. Wat dacht je van een oplossing, waarbij het
magisch 9x9 vierkant uit 9 evenredige semi-magische 3x3 vierkanten bestaat en voor elke 1/3 rij,
1/3 kolom (en hele diagonaal) kloppend is !!!
Magisch 10x10 vierkant
Maak een magisch 10x10 vierkant met de 'verbeterde' methode van Strachey of de Medjig methode
zonder te hoeven puzzelen (= LUX methode).
Samengesteld 12x12 magisch vierkant
Leer om een samengesteld magisch 12x12 vierkant te maken, zoals deze is opgenomen in een scrip-
tie van 1938 van Royal Vale Heath (ik kreeg hiervan een kopie van J.J. Versluys uit Utrecht). Dit ma-
gisch vierkant heeft zeer speciale magische eigenschappen.
Magisch 14x14 vierkant
Hans Nieuwenhuis uit Hengelo (Ov) legt ons uit hoe je de Strachey methode moet toepassen om
grote dubbel oneven magische vierkanten te maken. Voor het 14x14 magisch vierkant heb je vier
magische 7x7 vierkanten nodig. Ik laat drie populaire methoden zien om een 7x7 magisch vierkant
te maken (waarmee je vervolgens het 14x14 magisch vierkant kunt maken). Voorts laat ik nog zien
hoe je een 14x14 magisch vierkant maakt met een 12x12 Bree/Ollerenshaw inlegvierkant.
[Ultra] panmagisch 15x15 vierkant
15x15 is een 'lastige' grootte (orde). De oplossingsmethode voor het panmagisch 15x15 vierkant is
iets moeilijker dan voor het panmagisch 5x5 of panmagisch 9x9 vierkant. Deze methode kan worden
gebruikt voor elke oneven veelvoud van 3, dat geen veelvoud van 9 is (dus 15x15, 21x21, 33x33,
39x39, ...).
N.B.: Het is echter ook mogelijk om 3x3 hetzelfde panmagische 5x5 vierkant (en twee vaste patronen)
te nemen om een panmagisch 15x15 vierkant te maken. Het is zelfs mogelijk om via een simpele me-
thode een ultra (pan)magisch vierkant te maken (die behalve z'n strakke structuur) voor elk 3x3 én
5x5 deelvierkant kloppend is.
3x Extra magisch 15x15 vierkant
Zei ik dat 15x15 een lastige grootte (orde) is? Ik presenteer op deze pagina 3 methodes die tot niet-
panmagische, maar wel tot extra magische oplossingen voor het 15x15 magisch vierkant leiden.
Wat dacht je van een oplossing, waarbij het magisch 15x15 vierkant uit 9 evenredige panmagische
5x5 vierkanten bestaat en voor elke 1/3 rij, 1/3 kolom en 1/3 diagonaal kloppend is !!!
Het volmaakte magische vierkant
Het volmaakte magische vierkant is een meest perfect (Franklin pan)magisch 16x16 magisch vierkant,
die niet alleen
volmaakt is qua magische eigenschappen, maar ook volmaakt is qua opbouw.
3x extra magisch 18x18 vierkant
Zie hier drie methodes om extra magische 18x18 magische vierkanten te maken. Wat dacht je van een
18x18 magisch vierkant, bestaande uit 9 evenredige 4x4 in 6x6 vierkanten dat kloppend is voor elke
1/3 rij, 1/3 kolom en 1/3 diagonaal !
Ultra panmagisch 25x25 vierkant
Uit analyse van een ultra panmagisch 25x25 vierkant blijkt dat van (het patroon van) elk panmagisch
5x5 vierkant een (niet symmetrisch) ultra panmagisch 25x25 vierkant kan worden gemaakt. Het is ook
mogelijk om vanuit 25x het- zelfde ultra panmagische 5x5 vierkant een (symmetrisch) ultra panmagisch
25x25 vierkant te maken.
[Ultra] panmagisch 27x27 vierkant
Hoewel het 27x27 vierkant een oneven veelvoud van 3 en geen oneven kwadraat is, bestaan er toch
panmagische 27x27 vierkanten. Vanuit analyse van een panmagisch 27x27 vierkant heb ik een op-
lossingsmethode gevonden.
N.B.: Het is zelfs mogelijk om van 3x3 hetzelfde ultra panmagische 9x9 vierkant (plus twee vaste
patronen) een ultra panmagisch 27x27 vierkant te maken. Het vierkant is panmagisch en symmetrisch
en elke 1/9 rij en 1/9 kolom levert 1/9 van de magisch som op en elke 1/3 diagonaal en elk (willekeu-
rig gekozen) 3x3 deelvierkant levert 1/3 van de magische som op!!!
[Ultra] panmagisch 35x35 vierkant
Ik laat zien dat je op een eenvoudige manier van elk willekeurig panmagische 5x5 vierkant en een
willekeurig panmagisch 7x7 vierkant een panmagisch 35x35 vierkant kunt maken. Ook geef ik de
symmetrische magische 5x7 rechthoek, waarvan je een ultra panmagisch 35x35 vierkant kunt maken.
Extra magisch 35x35 vierkant
Het is ook mogelijk om een 35x35 vierkant te maken, die niet panmagisch is, maar wel kloppend voor
elke 1/7 rij, 1/7 kolom en 1/7 diagonaal.
Inlegvierkanten
Het is ook mogelijk om (onzuivere) magische inlegvierkanten binnen grotere magische vierkanten te
maken. Ik presenteer hier een oplossingsmethode voor (enkelvoudige) even (inleg)vierkanten en een
oplossingsmethode voor (enkelvoudige) oneven (inleg)vierkanten en geef een verwijzing naar een
website met een oplossingsmethode voor concentrische (even en oneven) vierkanten.
N.B.: Vergaap je aan het al-Antaakii concentrisch magisch 15x15 vierkant met extra magische eigen-
schap uit het jaar 987!!!
Inlegvierkant, meervoudig (1)
Zie hier de echte uitdaging plus oplossing voor het maken van een meervoudig inlegvierkant. Een
14x14 vierkant met een 12x12 inlegvierkant, die bestaat uit vier evenredige 6x6 vierkanten met in
elk 6x6 vierkant een panmagisch 4x4 vierkant.
Inlegvierkant, meervoudig (2)
Weer een oplossing voor het maken van een meervoudig inlegvierkant. Een 22x22 vierkant met
een 20x20 inlegvierkant. In het 20x20 inlegvierkant bevinden zich vier panmagische 7x7 vierkanten
en vijf panmagische 4x4 vierkanten. In het even magische vierkant vind je dus zowel oneven als
even (niet diamanten) inlegvierkanten!!!
Hier laat ik de basissleutel zien voor een (onzuiver) 4x4 vierkant dat voor elke magische som klop-
pend is. Plus een alternatieve methode, die wellicht nog beter is.
'Meest magische' 4x4x4 kubus
Leer hier hoe je van elk panmagisch 4x4 vierkant een 'meest magische' 4x4x4 kubus kunt maken.
Perfect (Nasik) magische 8x8x8 kubus
Leer hier hoe je van elk meest perfect magisch 8x8 vierkant een perfect (Nasik) magische 8x8x8
kubus kunt maken.
[Meer dan] perfect magische 9x9x9 kubus
Leer hier hoe je van een ultra magisch 9x9 vierkant een meer dan perfect magische 9x9x9 kubus kunt
maken. De magische 9x9x9 kubus is symmetrisch, pandiagonaal magisch (per laag en door de la-
gen heen), 3x3(x3) compact en voor 3/4 tridiagonaal magisch. Ook verklap ik het geheim van Frost's
perfecte (maar niet compacte) 9x9x9 kubus.
Truc met bimagisch vierkant
Zie hier hoe ik, via een truc, van het bimagisch 8x8 vierkant uit het boek van Arno van den Essen
een ander (niet gedraaide en/of gespiegelde versie van het) bimagische vierkant maak. Op deze
pagina geef ik ook een link naar de website van Aale de Winkel, die laat zien hoe je van allerlei
binaire patronen, bimagische 8x8 vierkanten kunt maken.
N.B.: Deze truc is niet zomaar een truc. Je kunt elk magisch vierkant wijzigen in zijn inverse door
het omwisselen van het hoogste getal met het laagste getal, het op-een-na hoogste getal met het
op-een-na-laagste getal, enz. Het inverse magisch vierkant heeft dezelfde eigenschappen als het
origineel (zelfs als het bimagische, trimagische, meest perfecte, concentrische of zelfs meervoudige
inlegvierkanten betreft)!!!
Water win spel
|
